Н.А. Тенетко
Правило симметричных потоков задаёт отношения между последовательностями. При рекурсивном расширении последовательностей возникают отношения уже между количествами и типами этих отношений. Ниже устанавливаются точные прогрессионные законы такого расширения и условия их переноса через симметрии.
Рассматриваются два различных уровня: закономерность внутри заданной последовательности и закономерность изменения характеристик целого класса последовательностей. Их основания и области действия фиксируются отдельно.
Пусть (q\geq 2) — чётное основание, а
[ D_q={0,1,\ldots,q-1}, \qquad \Omega_n=D_q^n, \qquad n\geq 1. ]
Для последовательности (X=(d0,\ldots,d{n-1})) определим отражение и дополнение:
[ R(X)=(d_{n-1},\ldots,d_0), ]
[ Cq(X)=(q-1-d_0,\ldots,q-1-d{n-1}). ]
При (q=2) дополнение (C_2) является побитовой инверсией. Ведущие нули сохраняются как часть последовательности.
Дополнение не имеет неподвижных цифр. Действительно,
[ d=C_q(d) \iff d=q-1-d \iff 2d=q-1. ]
При чётном (q) число (q-1) нечётно, поэтому целого решения (d\in D_q) не существует. Равенство (C_q(X)=X) потребовало бы этого равенства в каждой позиции; следовательно, дополнение не имеет и неподвижных последовательностей.
Правило симметричного партнёра:
[ P_q(X)= \begin{cases} R(X), & X\neq R(X),\[4pt] C_q(X), & X=R(X). \end{cases} ]
Поскольку (R) и (C_q) — коммутирующие инволюции, а дополнение при чётном основании не имеет неподвижных последовательностей,
[ P_q(P_q(X))=X, \qquad P_q(X)\neq X. ]
Следовательно, пространство (\Omega_n) разбивается на непересекающиеся пары
[ \pi_X={X,P_q(X)}, \qquad T_n=\frac{q^n}{2}. ]
Выделим три непересекающихся типа:
При чётном основании условие J автоматически исключает палиндромность. Тип J соответствует R-static в бинарной формулировке правила.
Пусть количества пар этих типов равны (I_n), (J_n), (Q_n). Тогда
[ T_n=I_n+J_n+Q_n, \qquad S_n^{\mathrm{stat}}=I_n+J_n. ]
Дополнение действует и на парах:
[ \mathcal Cq(\pi_X) ={C_q(X),C_q(P_q(X))} =\pi{C_q(X)}. ]
Его неподвижные пары — ровно I- и J-статичные. Остальные объединяются в мета-пары:
[ \mu={\pi,\mathcal C_q(\pi)}, \qquad M_n=\frac{Q_n}{2}. ]
Повторное дополнение такой мета-пары не создаёт нового объекта.
Теорема. Для каждого чётного основания (q\geq2) расширение последовательности двумя внешними символами,
[ E_{a,b}(X)=aXb, \qquad a,b\in D_q, ]
индуцирует переход между пространствами пар длин (n) и (n+2). Каждая дочерняя пара имеет единственного родителя, а каждая родительская пара имеет ровно (q^2) дочерних пар. Количества типов удовлетворяют закону
[ \begin{pmatrix} I{n+2}\ J{n+2}\ Q_{n+2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} q&0&0\ 0&q&0\ q(q-1)&q(q-1)&q^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_n\ J_n\ Q_n \end{pmatrix}. ]
Отсюда следуют:
[ T{n+2}=q^2T_n, \qquad S{n+2}^{\mathrm{stat}}=qS_n^{\mathrm{stat}}, ]
[ Q_{n+2}=q^2Q_n+q(q-1)S_n^{\mathrm{stat}}, ]
[ M_{n+2}=q^2M_n+\frac{q(q-1)}{2}S_n^{\mathrm{stat}}. ]
В частности, переходящие пары подчиняются рекуррентному закону второго порядка:
[ \boxed{Q{n+4}=(q^2+q)Q{n+2}-q^3Q_n.} ]
Для мета-пар действует тот же закон:
[ \boxed{M{n+4}=(q^2+q)M{n+2}-q^3M_n.} ]
Таким образом, для каждой фиксированной чётности длины геометрические и линейно-рекуррентные закономерности возникают из самого правила построения пар.
1. Согласованность симметрий с расширением. Непосредственно из определений:
[ R(aXb)=bR(X)a, ]
[ C_q(aXb)=(q-1-a)C_q(X)(q-1-b). ]
Поэтому палиндромность расширения требует палиндромности внутренней части и равенства (a=b). Зеркально-дополнительность требует того же свойства внутренней части и равенства (a+b=q-1).
2. Переходы типов. Из (q^2) оболочек палиндрома ровно (q), с (a=b), сохраняют его тип. Из (q^2) оболочек J-последовательности ровно (q), с (a+b=q-1), сохраняют тип J. Остальные оболочки дают переходящий тип. Переходящая внутренняя часть не может стать I или J после добавления краёв.
3. Единственность родителя. Удаление крайних символов из двух элементов дочерней пары возвращает внутренние части с одной и той же родительской парой. В ветви отражения это (X) и (R(X)); в ветви дополнения — палиндром (X) и (C_q(X)). Разложение на края и внутреннюю часть единственно.
Одна родительская пара содержит два различных слова, каждое допускает (q^2) оболочек. Полученные (2q^2) различных слов разбиваются на (q^2) дочерних пар. Разные родители не имеют общего потомка. Поэтому подсчёт не содержит дубликатов и даёт указанную матрицу.
4. Вывод рекуррентности. Из матрицы получаем
[ Q{n+4}=q^2Q{n+2}+q(q-1)S_{n+2}^{\mathrm{stat}}. ]
Подставляя (S{n+2}^{\mathrm{stat}}=qS_n^{\mathrm{stat}}) и (q(q-1)S_n^{\mathrm{stat}}=Q{n+2}-q^2Q_n), имеем
[ \begin{aligned} Q{n+4} &=q^2Q{n+2}+q\bigl(Q{n+2}-q^2Q_n\bigr)\ &=(q^2+q)Q{n+2}-q^3Q_n. \end{aligned} ]
Деление на два даёт формулу для (M_n). Теорема доказана.
Зафиксируем одну ветвь чётности (n=n_0+2k), где (n_0\in{1,2}), и положим
[ sk=S{n0+2k}^{\mathrm{stat}}, \qquad q_k=Q{n_0+2k}. ]
Тогда матричная теорема сводится к двумерной системе
[ \begin{pmatrix}s{k+1}\q{k+1}\end{pmatrix} =B_q\begin{pmatrix}s_k\q_k\end{pmatrix}, \qquad B_q= \begin{pmatrix} q&0\ q(q-1)&q^2 \end{pmatrix}. ]
Характеристический полином этой сокращённой матрицы равен
[ \chi_{B_q}(\lambda) =(\lambda-q)(\lambda-q^2) =\lambda^2-(q+q^2)\lambda+q^3. ]
По теореме Кэли--Гамильтона
[ B_q^2-(q+q^2)B_q+q^3E=0. ]
Применяя это тождество к вектору ((s_k,q_k)^{\mathsf T}) и беря вторую координату, получаем
[ q{k+2}=(q^2+q)q{k+1}-q^3q_k, ]
что после возвращения к индексам длины даёт
[ Q{n+4}=(q^2+q)Q{n+2}-q^3Q_n. ]
Это доказательство не заменяет комбинаторное: комбинаторика устанавливает матрицу перехода, а линейная алгебра раскрывает порождённую ею рекуррентность.
Подсчёт палиндромов и зеркально-дополнительных слов даёт:
[ I_n=\frac{q^{\lceil n/2\rceil}}{2}, \qquad J_n= \begin{cases} \dfrac{q^{n/2}}{2}, & n\text{ чётно},\[6pt] 0, & n\text{ нечётно}. \end{cases} ]
Величина (q^{\lceil n/2\rceil}) сначала считает палиндромные слова: их свободно задаёт первая половина вместе со средней позицией при нечётном (n). Дополнение переводит палиндром в другой палиндром и, как показано выше, не имеет неподвижных слов. Поэтому все палиндромы распадаются на двухэлементные орбиты ({X,C_q(X)}), что и объясняет знаменатель (2) в формуле для (I_n).
Поэтому
[ S_n^{\mathrm{stat}}= \begin{cases} q^{n/2}, & n\text{ чётно},\[4pt] \dfrac{q^{(n+1)/2}}{2}, & n\text{ нечётно}. \end{cases} ]
Доля статичных пар также образует прогрессию при фиксированной чётности:
[ \rhon=\frac{S_n^{\mathrm{stat}}}{T_n}, \qquad \rho{n+2}=\frac{\rho_n}{q}. ]
Две ветви длины имеют разные начальные условия и записываются отдельно. Для (k\geq0), то есть (n=2k+1),
[ I{2k+1}=S{2k+1}^{\mathrm{stat}}=\frac{q^{k+1}}2, \qquad J{2k+1}=0, \qquad Q{2k+1}=\frac{q^{2k+1}-q^{k+1}}2. ]
Для (k\geq1), то есть (n=2k),
[ I{2k}=J{2k}=\frac{q^k}{2}, \qquad S{2k}^{\mathrm{stat}}=q^k, \qquad Q{2k}=\frac{q^{2k}}2-q^k. ]
Внутри каждой ветви рекуррентность имеет шаг (k\mapsto k+1), что соответствует изменению длины (n\mapsto n+2). Эти две ветви нельзя подменять одной рекуррентностью с шагом (n\mapsto n+1).
Бинарное основание. При (q=2) восстанавливаются формулы исходного правила:
[ T_n=2^{n-1}, \qquad S_n^{\mathrm{stat}}=2^{\lfloor n/2\rfloor}, ]
[ Q{n+4}=6Q{n+2}-8Q_n. ]
Для нечётных длин (n=1,3,5,7) значения (Q_n) равны
[ 0,\quad 2,\quad 12,\quad 56. ]
Десятичное основание. При (q=10):
[ \boxed{Q{n+4}=110Q{n+2}-1000Q_n.} ]
Для нечётных длин:
(n)(T_n)(S_n^{\mathrm{stat}})(Q_n)(M_n)15500350050450225550 00050049 50024 75075 000 0005 0004 995 0002 497 500
Эти числа описывают весь соответствующий класс, а не одну выбранную строку. Формулы позволяют вычислять агрегаты без перечисления элементов класса.
Пусть задана последовательность точных скалярных значений (x=(x0,\ldots,x{\ell-1})\in\mathbb Q^\ell), (\ell\geq2). Определим
[ (Rx)i=x{\ell-1-i}, \qquad (C_\kappa x)_i=\kappa-x_i, \qquad \kappa\in\mathbb Q. ]
Константа (\kappa) одинакова для всех членов последовательности.
Если (x_i=a+id), то отражение и дополнение сохраняют арифметический класс:
[ (Rx)i=a+(\ell-1)d-id, \qquad (C\kappa x)_i=\kappa-a-id. ]
Критерий зеркального дополнения:
[ \boxed{Rx=C\kappa x \iff 2a+(\ell-1)d=\kappa \iff x_0+x{\ell-1}=\kappa.} ]
Доказательство следует из равенства сумм симметричных членов:
[ xi+x{\ell-1-i}=2a+(\ell-1)d. ]
Например, десятичная последовательность ((0,3,6,9)) удовлетворяет (Rx=C_9x). Её отражение и дополнение равны ((9,6,3,0)). При этом обычная зеркальность арифметической последовательности (Rx=x) эквивалентна (d=0).
Если (x_i=ar^i), (r\neq0), то
[ (Rx)_i=ar^{\ell-1}\left(\frac1r\right)^i. ]
Для дополнения (y_i=\kappa-x_i) имеем
[ \boxed{y_{i+1}=ry_i+\kappa(1-r).} ]
Дополнение может преобразовать геометрическую прогрессию в аффинную рекурсию. Например,
[ (1,2,4)\xrightarrow{\ C9\ }(8,7,5), \qquad y{i+1}=2y_i-9. ]
Обозначим (\Delta xi=x{i+1}-x_i). Тогда
[ \Delta(Rx)i=-\Delta x{\ell-2-i}, \qquad \Delta(C_\kappa x)_i=-\Delta x_i. ]
Периодическая последовательность разностей переносится с изменением знака, а при отражении — также направления и начальной фазы.
Если (x_i) задан полиномом степени (d), то точная формула Ньютона имеет вид
[ xk=\sum{j=0}^{d}\binom{k}{j}\Delta^j x_0. ]
Для допустимых индексов:
[ \Delta^j(Rx)i=(-1)^j\Delta^j x{\ell-1-i-j}, \qquad \Delta^j(C_\kappa x)_i=-\Delta^j x_i\quad(j\geq1). ]
Поэтому отражение и дополнение сохраняют ненулевую степень полиномиального генератора. Его определение на конечном окне не утверждает поведения неизвестного продолжения.
Если
[ x{i+m}=\sum{j=0}^{m-1}cjx{i+j}, ]
то для (y=C_\kappa x) подстановка даёт
[ y{i+m}=\sum{j=0}^{m-1}cjy{i+j} +\kappa\left(1-\sum_{j=0}^{m-1}c_j\right). ]
Следовательно, замкнутый относительно дополнения класс должен допускать аффинные члены. Обращение направления рекурсии с восстановлением раннего состояния требует (c_0\neq0). Для второго порядка,
[ x{i+2}=ax{i+1}+bx_i,\quad b\neq0, ]
отражённая последовательность (z=Rx) удовлетворяет
[ z{i+2}=-\frac{a}{b}z{i+1}+\frac1b z_i. ]
Точное преобразование сохраняет формально определённый закон, но не обязано сохранять его первоначальное имя или целочисленность коэффициентов.
Для слова фиксированной длины (n) зададим позиционную координату
[ \operatorname{pos}{q,n}(X) =1+\sum{i=0}^{n-1}d_iq^{n-1-i}. ]
Вместе с (q) и (n) она однозначно определяет слово. При дополнении:
[ \operatorname{pos}{q,n}(C_qX) =q^n+1-\operatorname{pos}{q,n}(X). ]
Обозначение (Pq) в статье закреплено только за правилом партнёра, а (\operatorname{pos}{q,n}) — только за позиционной координатой. Это разные объекты, даже когда оба вычисляются для одного слова.
Таким образом, дополнение ранга символа использует константу (q-1), а дополнение позиции целого слова — (q^n+1). Эти действия нельзя смешивать.
В общем случае, если значения получены проекцией (x_i=f(a_i)), перенос дополнения на исходные объекты требует явно установленного условия
[ f(g(a))=\kappa-f(a). ]
Без него скалярная формула не определяет преобразование объектов. Кроме того,
[ f(a)=f(b)\quad\not\Rightarrow\quad a=b. ]
Поэтому равные длины разных блоков не означают повтор одного и того же блока. Для обратимого представления отношения сохраняются исходные адреса, порядок и необходимый контекст, а не только числовые параметры прогрессии.
Полученная конструкция следует принципу: отношение рассматривается внутри объявленного основания, а его результат становится объектом следующего анализа.
[ \text{последовательности} \longrightarrow \text{симметричные пары} \longrightarrow \text{меры классов} \longrightarrow \text{прогрессионные отношения}. ]
Вместо повторного перечисления известного класса используется выведенное правило перехода. При этом новое описание не уничтожает исходное пространство и не отождествляет объекты только по совпадению одной проекции.
Обозначение (S_n^{\mathrm{stat}}) относится к числу статичных пар и не является фундаментальной координатой (S). Тождество
[ T_n-S_n^{\mathrm{stat}}-Q_n=0 ]
само по себе не заменяет инвариант
[ \Delta S+\Delta V=0. ]
Их связь требует отдельной явно заданной проекции мер. Здесь устанавливается согласованность способов построения, а не вывод всех оснований общей концепции из одной формулы роста.
Правило симметричных потоков порождает не только пары последовательностей, но и точные законы изменения структуры этих пар. При рекурсивном расширении возникают геометрические и линейно-рекуррентные отношения между мерами классов. Тем самым закономерность построения становится основанием для закономерности следующего уровня при сохранении исходного пространства, адресации и границ применимости.