Коротко: на Android Макс обновляют через магазин, из которого он установлен, чаще всего через RuStore, либо ставят свежий APK со страницы download.max.ru поверх старой версии. В Google Play и App Store приложения сейчас нет (по справке MAX), поэтому обновления оттуда ждать не стоит.
Справка MAX называет официальные магазины: RuStore, Huawei AppGallery, Samsung Galaxy Store и Xiaomi GetApps. Нужен Android 8 или новее.
Чтобы не обновлять вручную, в профиле RuStore откройте «Настройки обновлений» и включите автообновление (по обзору AndroidInsider).
Не ставьте файлы, которые присылают посторонние под видом обновления, и не скачивайте MAX со сторонних сайтов.
Справка MAX прямо пишет: приложение на текущий момент недоступно в App Store. Если оно уже установлено, оно продолжает работать в обычном режиме, но после удаления переустановить его не получится. Порядок получения новой версии на iPhone справка не описывает; как запасной вариант она предлагает веб-версию MAX в Safari.
На Android откройте страницу MAX в магазине, откуда приложение установлено. Если вместо «Обновить» там «Открыть», версия актуальная.
Только из официальных источников: магазинов, которые называет справка MAX, или со страницы download.max.ru. Обновляйте приложение поверх установленного, не удаляя его: на Android переустановка потребует повторного входа по номеру телефона.
Пошаговая инструкция с ответами на частые вопросы: Как обновить Макс на телефоне: Android и iPhone.
Что ещё есть на МАКСОТЕКЕ: каталог каналов и чатов MAX, размещение канала в каталоге, биржа рекламы.