Дополнительная теорема об объёме и содержании класса и их межклассовом соотношении
На основании Теоремы Лукошко
Н.А. Тенетко
Исходные идеи: 16–18 октября 2026 года. Дата формулировки: 28 октября 2026 года. Редакция: 1.0.
Статус: дополнительная теорема с определениями, доказательством и следствиями для объявленной области. Термины «объём класса» и «содержание класса» используются как рабочие.
1. Фундаментальное основание
1.1. Опора на Теорему Лукошко
Настоящая теорема является дополнением к комплексу теорем Н.А. Тенетко. Её первичным основанием остаётся Теорема Лукошко.
Сохраняется неразделимое триединство:
[ \boxed{ (M,0,1),\qquad M,0,1\in\mathcal M, } ]
где (M) — мера, (0) — проявленная неопределённость, (1) — проявленная определённость.
Мера выражает внутреннее отношение:
[ \boxed{ \operatorname{Rel}(M)=0\leftrightarrow1. } ]
Мера не сводится к внешнему контейнеру над нулём и единицей, а отношение не исчерпывает её идентичность.
Структурное присутствие (0) и (1) в мере не отождествляется с буквальным присутствием обеих цифр в каждой бинарной строке.
Отношения допустимых мер могут быть оформлены как меры отношений:
[ \boxed{ X,Y\in\mathcal M \Longrightarrow \operatorname{MeasureRel}(X,Y)\in\mathcal M. } ]
Это сохраняет возможность исследовать не только отдельные объекты, но и отношения между ними, не меняя фундаментального основания.
1.2. Начальное основание и операторная динамика
Для конечного локального среза с (r) учитываемыми единицами содержания сохраняется принятая инициализация:
[ S_0(E)=r,\qquad V_0(E)=r+1, ]
[ \boxed{ V_0(E)-S_0(E)=1, \qquad S_0(E)+V_0(E)=2r+1. } ]
При допустимой операторной динамике на выбранном срезе:
[ \boxed{ (\Delta S,\Delta V)=(\sigma,-\sigma), \qquad \Delta S+\Delta V=0. } ]
Начальное единичное смещение и компенсация последующих изменений относятся к разным аспектам меры. Условие (V_0-S_0=1) не означает, что разность (V-S) обязана оставаться равной единице после любого операторного перехода.
1.3. Класс как самостоятельный объект
В соответствии с координатным развитием основного комплекса полный класс рассматривается как локальное содержание меры (E_{K_n}).
При выборе последовательностей класса в качестве учитываемых единиц:
[ S0(E{Kn})=|K_n|, \qquad V_0(E{K_n})=|K_n|+1. ]
Настоящее дополнение исследует ещё одну сторону этого объекта: связь его внутреннего состава с внешними межклассовыми включениями.
Вводимые ниже (S{\mathrm{кл}}), (V{\mathrm{охв}}), (V_{\mathrm{св}}) и другие показатели не заменяют фундаментальные меры. Каждый показатель получает собственный объект подсчёта, область и способ различения отношений.
Численные утверждения выводятся на принятом основании вместе с определениями полных классов и включений. Они не объявляются следствиями одного лишь равенства (V_0-S_0=1).
Окончательное согласование названий не является условием действительности доказанных ниже равенств.
2. Область и обозначения
Пусть задан конечный упорядоченный алфавит:
[ \Sigma=(a0,a_1,\ldots,a{N-1}), \qquad |\Sigma|=N,\qquad N\geq2. ]
Полным классом длины (n) называется:
[ K_n=\Sigma^n,\qquad n\geq1. ]
Он содержит все последовательности длины (n) над выбранным алфавитом.
Фиксируется конечная область:
[ \boxed{ \OmegaH=\bigcup{m=1}^{H}K_m, \qquad H\geq1. } ]
Все значения внешнего объёма относятся к указанной области. Для класса (K_n) учитываются только более высокие классы:
[ n<m\leq H. ]
Запись:
[ x\preceq y ]
означает, что (x) встречается в (y) как непрерывный фрагмент.
Пустая последовательность в этой редакции не учитывается. Само слово включается в число его внутренних фрагментов, но не считается собственным, то есть более коротким, фрагментом.
Отношение между (K_n) и (K_m) задаётся через включения их последовательностей. Оно не означает буквального включения множеств (K_n\subseteq K_m).
3. Содержание класса
3.1. Базовое содержание
Базовым содержанием класса называется число его различных последовательностей:
[ \boxed{ S_{\mathrm{кл}}(K_n)=|K_n|=N^n. } ]
Длина одной последовательности и количество последовательностей класса различаются:
[ n\neq N^n ]
в общем случае.
3.2. Содержание по внутренним отношениям
Если задано правило (r), а (c_r(x)) — число его учитываемых проявлений внутри слова (x), определяется:
[ \boxed{ Sr^{\mathrm{внутри}}(K_n) = \sum{x\in K_n}c_r(x). } ]
Для отношений между целыми словами одного класса отдельно задаётся множество (\mathcal R_r(K_n)), после чего:
[ \boxed{ S_r^{\mathrm{между}}(K_n)=|\mathcal R_r(K_n)|. } ]
В определении (\mathcal R_r) фиксируются направленность, допустимость самосвязей и критерий равенства отношений.
Отношения внутри слова и отношения между словами одного класса не отождествляются. Различные показатели содержания не складываются без отдельного определения.
3.3. Фрагментное содержание
Для слова (y\in K_m) и длины (1\leq n\leq m) определим:
[ D_n(y)={x\in K_n:x\preceq y}, ]
[ d_n(y)=|D_n(y)|. ]
Здесь учитываются различные содержания фрагментов. Повторения одного фрагмента на нескольких позициях не увеличивают (d_n(y)).
Фрагментное содержание класса определяется как:
[ \boxed{ S{\mathrm{фр}}(K_m) = \sum{y\in Km}\sum{n=1}^{m}d_n(y). } ]
Оно считает пары «слово — его различный непустой фрагмент».
Одинаковый фрагмент в двух разных словах образует две разные пары. Поэтому (S_{\mathrm{фр}}) не является числом различных фрагментов, взятых один раз по всему классу.
Например:
[ D_1(00)={0},\qquad D_2(00)={00}, ]
[ D_1(01)={0,1},\qquad D_2(01)={01}. ]
Следовательно, слова (00) и (01) одного класса имеют соответственно два и три различных непустых фрагмента.
4. Объём класса
4.1. Объём по числу связанных классов
[ \boxed{ V_{\mathrm{классы}}(K_n;H)=H-n. } ]
Это число более высоких полных классов в выбранной области.
4.2. Объём охвата
Объёмом охвата называется число различных внешних слов, содержащих хотя бы один вариант исходного класса:
[ \boxed{ V{\mathrm{охв}}(K_n;H) = \left| \left{ y\in\bigcup{m=n+1}^{H}K_m: \exists x\in K_n,\ x\preceq y \right} \right|. } ]
Каждое внешнее слово (y) считается один раз.
Условие существования хотя бы одного (x) не означает, что всякая последовательность исходного класса входит в каждое внешнее слово.
4.3. Объём уникальных связей
Для (n<m) введём:
[ E_{n,m} = {(x,y)\in K_n\times K_m:x\preceq y}, ]
[ C{n,m}=|E{n,m}|. ]
Объём уникальных связей класса:
[ \boxed{ V{\mathrm{св}}(K_n;H) = \sum{m=n+1}^{H}C_{n,m}. } ]
Каждая пара ((x,y)) учитывается один раз. Несколько позиционных вхождений того же (x) в то же (y) не создают новых уникальных связей.
4.4. Позиционный объём
Если дополнительно различается начало вхождения, получается другой показатель:
[ \boxed{ V{\mathrm{поз}}(K_n;H) = \sum{m=n+1}^{H} \sum{y\in K_m} \sum{x\in K_n} #{\text{начала вхождений }x\text{ в }y}. } ]
Объём охвата, объём уникальных связей и позиционный объём измеряют разные стороны одного отношения включения.
5. Основная теорема
При определениях разделов 2–4 выполняются следующие утверждения.
I. Закон соотношения объёма охвата и содержания
Для любого (1\leq n\leq H):
[ \boxed{ V{\mathrm{охв}}(K_n;H) = \sum{m=n+1}^{H}N^m = \frac{N^{H+1}-N^{n+1}}{N-1}. } ]
Следовательно:
[ \boxed{ (N-1)V_{\mathrm{охв}}(K_n;H)
II. Устойчивое межклассовое соотношение
Для (1\leq i<j\leq H):
[ \boxed{ (N-1) \left[ V_{\mathrm{охв}}(K_i;H)
Разность объёмов охвата не зависит от расширения общей верхней границы выше обоих классов при неизменном алфавите и полноте классов.
III. Единство внешнего и внутреннего подсчёта включений
Пусть:
[ e_m(x)=|{y\in K_m:x\preceq y}|. ]
Тогда для (n<m):
[ \boxed{ C{n,m} = \sum{x\in Kn}e_m(x) = \sum{y\in K_m}d_n(y). } ]
Следовательно:
[ \boxed{ V{\mathrm{св}}(K_n;H) = \sum{m=n+1}^{H}\sum_{y\in K_m}d_n(y). } ]
Внешний объём уникальных связей исходного класса равен суммарному внутреннему фрагментному содержанию старших классов, измеренному на длине исходного класса.
IV. Общий баланс внутренних и внешних отношений
Для каждого полного класса:
[ \boxed{ S{\mathrm{фр}}(K_m) = S{\mathrm{кл}}(K_m)
Во всей выбранной области:
[ \boxed{ \sum{n=1}^{H}V{\mathrm{св}}(Kn;H) = \sum{m=1}^{H} \left[ S{\mathrm{фр}}(K_m)-S{\mathrm{кл}}(K_m) \right]. } ]
Таким образом, суммарное число внешних уникальных включений равно суммарному числу внутренних пар «слово — его различный собственный непустой фрагмент».
V. Закон фиксированного продолжения
Для (x\in Kn) и (m\geq n) пусть (G{n,m}(x)) — число слов класса (K_m), начинающихся с (x).
Тогда:
[ \boxed{ G_{n,m}(x)=N^{m-n}. } ]
Эта величина одинакова для всех (x\in Kn), поэтому далее обозначается (G{n,m}).
Выполняется:
[ \boxed{ S{\mathrm{кл}}(K_n),G{n,m} = S_{\mathrm{кл}}(K_m) = N^m. } ]
При фиксированном целевом классе это точная обратная пропорциональность содержания исходного класса и числа продолжений одной его последовательности.
6. Доказательство
6.1. Доказательство I
В каждой из (n) позиций последовательности независимо выбирается один из (N) символов:
[ S_{\mathrm{кл}}(K_n)=N^n. ]
Каждое слово длины (m>n) содержит хотя бы один непрерывный фрагмент длины (n). Все такие фрагменты принадлежат полному классу (K_n).
Поэтому исходный класс охватывает все (N^m) слов каждого более высокого класса:
[ V_{\mathrm{охв}}(K_n;H) = N^{n+1}+N^{n+2}+\cdots+N^H. ]
При умножении суммы на (N-1) промежуточные слагаемые сокращаются:
[ (N-1)V_{\mathrm{охв}}(K_n;H) = N^{H+1}-N^{n+1}. ]
Поскольку:
[ N S_{\mathrm{кл}}(K_n)=N^{n+1}, ]
получаем:
[ (N-1)V_{\mathrm{охв}}(K_n;H)
При (n=H) сумма пуста и равна нулю; равенство сохраняется.
6.2. Доказательство II
Запишем утверждение I для (K_i) и (K_j):
[ (N-1)V_{\mathrm{охв}}(K_i;H)
[ (N-1)V_{\mathrm{охв}}(K_j;H)
Вычитая второе равенство из первого, получаем утверждение II.
Его правая часть не зависит от (H). Поэтому разность объёмов охвата сохраняется для каждой общей границы (H\geq j).
Это равенство конечных величин, а не операция вычитания бесконечностей.
6.3. Доказательство III
Множество (E_{n,m}) можно посчитать по его первым участникам.
При фиксированном (x\in K_n) существует ровно (e_m(x)) допустимых вторых участников. Каждая пара имеет единственный первый участник:
[ |E{n,m}|=\sum{x\in K_n}e_m(x). ]
То же множество можно посчитать по вторым участникам.
При фиксированном (y\in K_m) допустимые первые участники образуют множество (D_n(y)). Каждая пара имеет единственный второй участник:
[ |E{n,m}|=\sum{y\in K_m}d_n(y). ]
Оба подсчёта учитывают одни и те же пары ровно по одному разу.
Суммирование по (m=n+1,\ldots,H) даёт формулу для (V_{\mathrm{св}}).
6.4. Доказательство IV
У каждого слова (y\in K_m) ровно один фрагмент длины (m): само слово. Поэтому:
[ d_m(y)=1. ]
Разделим внутренние фрагменты на само слово и собственные фрагменты:
[ S{\mathrm{фр}}(K_m) = \sum{y\in K_m}1
По утверждению III:
[ S{\mathrm{фр}}(K_m) = N^m+\sum{n=1}^{m-1}C_{n,m}. ]
Далее:
[ \sum{n=1}^{H}V{\mathrm{св}}(Kn;H) = \sum{n=1}^{H}\sum{m=n+1}^{H}C{n,m}. ]
Все суммы конечны. Меняя порядок подсчёта:
[ \sum{n=1}^{H}\sum{m=n+1}^{H}C{n,m} = \sum{m=1}^{H}\sum{n=1}^{m-1}C{n,m}. ]
Следовательно:
[ \sum{n=1}^{H}V{\mathrm{св}}(Kn;H) = \sum{m=1}^{H} \left[ S{\mathrm{фр}}(K_m)-S{\mathrm{кл}}(K_m) \right]. ]
6.5. Доказательство V
После фиксации начального слова (x) остаются (m-n) свободных позиций. Каждая допускает (N) символов:
[ G_{n,m}(x)=N^{m-n}. ]
Результат не зависит от конкретного содержания (x).
Умножая число продолжений одного слова на число слов исходного класса:
[ S{\mathrm{кл}}(K_n),G{n,m} = N^nN^{m-n} = N^m. ]
При (m=n) единственным продолжением является само слово.
Теорема доказана.
7. Межклассовые следствия
7.1. Переход между соседними классами
При (n<H):
[ \boxed{ S{\mathrm{кл}}(K{n+1}) = N S_{\mathrm{кл}}(K_n), } ]
[ \boxed{ V{\mathrm{охв}}(K{n+1};H) = V_{\mathrm{охв}}(K_n;H)-N^{n+1}. } ]
При фиксированных (N,H) содержание строго возрастает, а объём охвата строго убывает.
Это обратная линейная зависимость, а не зависимость вида (VS=\mathrm{const}).
7.2. Расширение области
Для (H'\geq H\geq n):
[ \boxed{ V_{\mathrm{охв}}(K_n;H')
Все классы прежней области получают одинаковое приращение объёма охвата. Поэтому их попарные разности не изменяются.
Содержание самого класса при таком расширении остаётся прежним.
7.3. Позиционный подсчёт
В каждом слове класса (K_m) имеется (m-n+1) позиций для фрагмента длины (n). Каждая позиция определяет единственное слово класса (K_n).
Следовательно:
[ \boxed{ V{\mathrm{поз}}(K_n;H) = \sum{m=n+1}^{H}(m-n+1)N^m. } ]
Для рассматриваемых полных классов:
[ \boxed{ V{\mathrm{охв}}(K_n;H) \leq V{\mathrm{св}}(Kn;H) \leq V{\mathrm{поз}}(K_n;H). } ]
Каждое охваченное слово образует хотя бы одну уникальную пару, а каждая уникальная пара имеет хотя бы одно позиционное вхождение.
8. Согласование с фундаментальным основанием
8.1. Начальная мера класса
При принятой классовой инициализации:
[ S0(E{Kn})=S{\mathrm{кл}}(K_n)=N^n, ]
[ V0(E{K_n})=N^n+1. ]
Следовательно:
[ \boxed{ V0(E{Kn})-S_0(E{K_n})=1, } ]
[ \boxed{ S0(E{Kn})+V_0(E{K_n})=2N^n+1. } ]
Объём охвата выражается через это содержание:
[ \boxed{ V{\mathrm{охв}}(K_n;H) = \frac{N^{H+1}-N S_0(E{Kn})}{N-1} = \frac{N^{H+1}-N\bigl(V_0(E{K_n})-1\bigr)}{N-1}. } ]
Это точное численное соотношение при выбранной инициализации. Оно не означает тождества внешнего объёма охвата и начального фундаментального объёма.
8.2. Компенсационная форма классового изменения
Как следствие утверждения I введём взвешенную классовую проекцию:
[ \widetilde Sn=N S{\mathrm{кл}}(Kn), \qquad \widetilde V_n=(N-1)V{\mathrm{охв}}(K_n;H). ]
Тогда:
[ \boxed{ \widetilde S_n+\widetilde V_n=N^{H+1}. } ]
При сравнении двух классов одной области:
[ \boxed{ \Delta\widetilde S+\Delta\widetilde V=0. } ]
Таким образом, после явного согласования единиц подсчёта классовая зависимость имеет компенсационную форму, согласованную с формой фундаментального операторного закона.
Эта проекция выведена из доказанной классовой формулы. Она не вводит новый базовый оператор и не объявляется полной идентификацией с (S,V) Теоремы Лукошко. В частности, условие начального смещения (+1) не приписывается ей автоматически.
8.3. Смысл дополнения
Внутренний и внешний подсчёт рассматривают одни и те же включения с разных сторон.
При фиксированном младшем слове учитывается, в какие старшие слова оно входит.
При фиксированном старшем слове учитывается, какие младшие слова в нём содержатся.
Утверждения III–IV устанавливают точное равенство этих подсчётов. Число отношений не изменяется от смены стороны их рассмотрения.
Это развивает исследование внутреннего содержания и внешнего объёма на уровне класса, сохраняя основание Лукошко.
9. Бинарный случай и примеры
Для:
[ \Sigma={0,1},\qquad N=2 ]
основной закон принимает вид:
[ \boxed{ V_{\mathrm{охв}}(K_n;H)
Межклассовое соотношение:
[ \boxed{ V_{\mathrm{охв}}(K_i;H)
9.1. Область первых пяти классов
Класс
(S_{\mathrm{кл}})
(S_{\mathrm{фр}})
(V_{\mathrm{охв}})
(V_{\mathrm{св}})
(K_1)
2
2
60
112
(K_2)
4
10
56
142
(K_3)
8
36
48
116
(K_4)
16
114
32
62
(K_5)
32
332
0
0
Во всех строках:
[ V{\mathrm{охв}}+2S{\mathrm{кл}}=64. ]
Общий внешний подсчёт:
[ 112+142+116+62+0=432. ]
Общий внутренний подсчёт собственных фрагментов:
[ (2-2)+(10-4)+(36-8)+(114-16)+(332-32)=432. ]
Следовательно:
[ \boxed{ \sum{n=1}^{5}V{\mathrm{св}}(Kn;5) = \sum{m=1}^{5} \left[ S{\mathrm{фр}}(K_m)-S{\mathrm{кл}}(K_m) \right] = 432. } ]
Нулевой внешний объём последнего класса обусловлен границей области, а не отсутствием возможных продолжений вне неё.
9.2. Два способа получить 14 связей
Слова класса (K_2):
[ 00,\ 01,\ 10,\ 11 ]
входят соответственно в (3,4,4,3) различных слова класса (K_3). Поэтому:
[ C_{2,3}=3+4+4+3=14. ]
В словах:
[ 000,\ 001,\ 010,\ 011,\ 100,\ 101,\ 110,\ 111 ]
числа различных двухбитных фрагментов равны:
[ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 1. ]
Следовательно:
[ C_{2,3}=1+2+2+2+2+2+2+1=14. ]
Позиционных вхождений при этом (8\cdot2=16). Это другой счётчик.
9.3. Одинаковые продолжения при различном внутреннем устройстве
Слова (00) и (01) принадлежат одному классу и имеют одинаковое число продолжений до длины 5 при сохранении начального положения:
[ G_{2,5}=2^3=8. ]
Но числа их различных непустых внутренних фрагментов равны соответственно 2 и 3.
Следовательно, одинаковая классовая характеристика продолжений совместима с различием внутренней организации отдельных слов.
Она не означает равенства всех возможных внешних характеристик этих слов.
10. Границы утверждений
Полнота классов существенна для формулы охвата. Если вместо полного (K_n) выбирается только часть его последовательностей, охват старших классов зависит от состава этой части.
Баланс двух способов подсчёта связей имеет более широкую область действия. Для любых конечных совокупностей (U,W) и фиксированного отношения (R\subseteq U\times W):
[ \boxed{ |R| = \sum{x\in U}|{y\in W:(x,y)\in R}| = \sum{y\in W}|{x\in U:(x,y)\in R}|. } ]
Доказательство совпадает с доказательством III: каждая пара имеет единственного первого и второго участника.
Степенные формулы для (S{\mathrm{кл}}) и (V{\mathrm{охв}}) относятся к полным классам последовательностей. Они не переносятся автоматически на произвольные совокупности или составные A.
Обратное изменение объёма охвата не объявляется законом для любого другого показателя объёма. Например, при (H=5):
[ V{\mathrm{св}}(K_1;5)=112<142=V{\mathrm{св}}(K_2;5). ]
Это различие способов измерения, а не отрицание фундаментального основания.
Теорема не утверждает общего закона изменения всех AN-, ANA- и других внутренних характеристик. Для каждой из них требуется собственное точное определение и отдельный вывод.
Равенство двух подсчётов не гарантирует существования быстрого алгоритма для любого отношения. Формулы охвата и фиксированного продолжения допускают вычисление без перечисления всех слов; для остальных показателей стоимость определяется применяемым точным алгоритмом.
11. Универсальная исследовательская процедура
Методологическое применение теоремы состоит в повторении одной процедуры на разных уровнях.
Выбираются объект, область и отношение. Фиксируется, что считается единицей: различный объект, уникальная пара или позиционное вхождение. После этого отдельно вычисляются внутренние и внешние характеристики.
Далее сопоставляются классы или другие допустимые объекты и исследуется, какие зависимости сохраняются при изменении области, класса и уровня.
Для рекурсивных составных A должны быть отдельно определены структурные участники, их вхождения и внешние контексты. Структурное участие целого A не подменяется бинарным включением фрагмента.
В приложении эта процедура подключается поверх существующего ядра. Она использует действующие координаты, отношения и способы восстановления, не меняя их.
Фиксируются область, версии определений, результаты и основания их получения. Конечная проверка отделяется от общего доказательства; отсутствие вычисленного результата не обозначается нулём или опровержением.
Универсальность процедуры не означает обязательности одной числовой формулы для всех типов объектов.
12. Итоговая формулировка
На основании Теоремы Лукошко и принятого формирования полных классов последовательностей класс рассматривается как самостоятельный объект с внутренним содержанием и внешними отношениями.
Для содержания, измеренного количеством последовательностей, и внешнего объёма охвата установлено:
[ \boxed{ (N-1)V_{\mathrm{охв}}(K_n;H)
Для уникальных включений установлено единство внешнего и внутреннего подсчёта:
[ \boxed{ C{n,m} = \sum{x\in Kn}e_m(x) = \sum{y\in K_m}d_n(y), } ]
а для всей конечной области — баланс:
[ \boxed{ \sum{n=1}^{H}V{\mathrm{св}}(Kn;H) = \sum{m=1}^{H} \left[ S{\mathrm{фр}}(K_m)-S{\mathrm{кл}}(K_m) \right]. } ]
Для фиксированного продолжения установлено:
[ \boxed{ S{\mathrm{кл}}(K_n),G{n,m}=S_{\mathrm{кл}}(K_m). } ]
Таким образом, внутренний состав классов и их внешние включения допускают единое согласованное исследование: через соотношение охвата и содержания, устойчивые межклассовые разности и равенство двух сторон подсчёта отношений.
Результат является дополнением к основному комплексу. Он не изменяет фундамент Теоремы Лукошко. Дальнейшее согласование терминов и операторных соответствий развивает уже сформулированную теорему, не отменяя доказанных в ней равенств.
Основания формулировки